Hyi hyi, ylioppilastutkintolautakunta!

Jouduin äskettäin kertailemaan vanhoja asioita, kun kävin preppaamassa sukulaispoikaa pitkän matikan kirjoituksiin. Vielä ei ole tietoa, kuinka äijän käy mutta tuskin wanhan antamasta avusta haittaakaan oli.

Käytiin läpi vanhoja ylioppilaskirjoitustehtäviä ja syksyltä 2002 silmille pomppasi tällainen probleema:
Leena ja Sari ratkaisevat rahaa heittämällä, kumpi pääsee ensiksi ratsastamaan. Leena heittää ensiksi, ja jos tulee kruuna, hän pääsee ensiksi ratsastamaan. Jos tulee klaava, Sari heittää rahaa, ja kruunalla hän pääsee ensiksi ratsastamaan. Jos Sarikin heittää klaavan, heittovuoro siirtyy Leenalle. Näin jatketaan vuorotellen, kunnes jompikumpi saa kruunan. Millä todennäköisyydellä Leena pääsee ensiksi ratsastamaan? Entä Sari?
Kuten tarkkaavainen lukija huomaa, tehtävässä ei puhuta sanaakaan hevosista ... HYI!

Mutta on ylioppilastutkintolautakunnalla (lyhyesti YTL) ollut joskus ennenkin kieli poskessa tai sitten kyseessä on tahaton huumori. Tässä tehtävä syksyltä 1989:
Tavaran hinta nousi kahdesti peräkkäin p %. Tällöin hinnan kokonaislisäys oli 22,1 %. Määritä p.
Tästä ei voi muuta kuin todeta, että aina on tiedetty tavaran tulevan kalliiksi ja hinnan nousevan jatkuvasti, mutta siitä huolimatta kysyntää riittää.

Kun YTL on tuolle linjalle lähtenyt, niin tässä lautakunnalle valmiiksi vähän materiaalia tulevia kirjoituksia varten. Laaditun kokeen taso on sama ja tehtävien mielekkyys ainakin yhtä suuri kuin YTL:llä normaalistikin. Myöskään hauskuusasteessa ei ole merkittävää eroa. YTL:n ohella toisena inspiraattorina on käytetty netistä löytyvää Helsingin kaupungin tarkkailuluokkien matematiikan koetta.


Yliopiskelijahutkintonautakunta
Matematiikan koe
Leveä oppimäärä

Kokeessa saa vastata korkeintaan kymmeneen tehtävään. (Jos et osaa laskea muuten kymmeneen, niin saat oikean määrän täyteen kun joka sormea kohti on yksi tehtävä. Eikä sitten lasketa kädet taskussa, muuten pojille tulee yksi tehtävä liikaa ja tytöille 1-2 liian vähän.) Tähdellä merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.

1. Maahanmuuttaja X sai tuomion törkeästä pahoinpitelystä, kolmesta pahoinpitelystä, kahdesta laittomasta uhkauksesta ja vahingonteosta. Syntyperältään suomalainen Y sai tuomion blogikirjoittelusta. Jos X:n tuomioon olisi lisätty yksi kuukausi, kaksinkertaistettu sen pituus ja muutettu se ehdollisesta ehdottomaksi, tuomiot olisivat olleet samat. Laske Y:n saaman tuomion pituus, kun se oli vuoden ja kolme kuukautta pidempi kuin X:n saama tuomio.

2. Tasakylkisen kolmion kanta on 8,0 cm ja kantakulmien suuruus 70 astetta. Kolmiosta konstruoidaan jana partakoneen avulla. Laske janan pituus. (Eikä urputeta puutteellisesta tehtävänannosta - kyllä tuohon ikään mennessä pitää jo tietää, onko ko. jana pitkittäin vai poikittain.)

3. Känninen Arska hyppää auton rattiin Ivalossa ja uhoaa lähtevänsä tappamaan Sodankylässä asuvan kaverinsa Reiskan. Poliisille soitetaan hälytys, mutta säästösyistä lähin partio on Rovaniemellä. Arska ajaa keskinopeudella 130 km/h ja viisitoista minuuttia Arskan jälkeen Rovaniemeltä starttaava partio keskinopeudella 140 km/h. Matka Rovaniemi-Ivalo on 290 km ja Ivalo-Sodankylä 160 km. Ehtiikö Arska Sodankylään ennen poliiseja ja jos ei, niin missä kohdassa Sodankylä-Ivalo -välillä poliisit ja Arska kohtaavat?

4. Turvapaikanhakijoiden toimeentulotukea päätettiin pienentää 30 %, kun havaittiin että valtiolta loppuvat rahat. Samaan aikaan päätettiin kuitenkin kiihdyttää perheenyhdistämisprosessia. Tämän seurauksena turvapaikanhakijoiden määrä kasvoi 300 %. Kuinka monta prosenttia muuttui turvapaikanhakijoille maksettava kokonaisrahasumma?

5. Muumipappa lauleskeli Paapapapaapa, pappa tahtois panna, maamamamaama, mamma se ei anna. Pappa on havainnut, että jos hän on saanut, seuraavana päivänä muumimamma antaa 20 % todennäköisyydellä. Jos taas mamma on pihdannut, seuraavana päivänä hän jatkaa pihtaamista 60 % todennäköisyydellä. Keskiviikkona sauna-illan kunniaksi muumit olivat sillai. Millä todennäköisyydellä pappa saa lauantaina, kun on seuraava sauna-ilta?

6. Hassan on huomannut, että hänen myymiensä kokaiinipussukoiden massan keskiarvo on 4,0 g ja keskihajonta 0,4 g. Kuinka monella prosentilla pakkauksista massa on alle 3,5 g, mikä aiheuttaa Hassanille huonon maineen alan piireissä? Entä kuinka monella prosentilla pakkauksista massa on yli 5,0 g, mikä taas aiheuttaa Hassanille myyntitappiota?

7. Myymäläetsivä huomaa valvontakameran kuvasta Valden mättävän rotsinsa sisään tavaraa kameraan nähden vektorin 16i + 8j - k suunnassa 24 metrin etäisyydellä kamerasta. Havaittuaan olevansa tarkkailun kohteena Valde lähtee juoksemaan kohti pihalle pysäköityä Mersuaan vektorin -2i - 5j suuntaan nopeudella 10 km/h. Kuinka läheltä valvontakameraa Valde menee ja kuinka pitkän ajan kuluttua tämä tapahtuu?

8. Huumesalakuljettaja piilottaa suoran ympyrälieriön muotoisen köntin jalkapalloon. Pallon ympärysmitta on 70 cm. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde, kun lieriö on mahdollisimman suuri.

9. Aikuislelutehtaassa valmistetaan tarvikkeita, jotka saadaan kun seuraava käyrä pyörähtää x-akselin ympäri. y = 2, kun -20 ≤ x < -π/2, y = (cos 2x)/4 +2,25, kun -π/2 ≤ x ≤ 0, y = (6,25 - x²)^½, kun x > 0. Laske vempeleen tilavuus, kun yksikkönä on senttimetri.

10. Kapean kujan vastakkaisiin seiniin nojaavat rappioalkoholistit Jore ja Pertsa. Kujan leveys on kuusi metriä. Ohikulkija joutuu menemään heidän välistään. Hajun vaikutus on suoraan verrannollinen kujalla vietettyyn aikaan ja kääntäen verrannollinen spurgusta mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Jore on ollut kujalla kaksi kertaa niin kauan kuin Pertsa. Mistä kohtaa pultsareiden välistä kulkijan on mentävä, jotta hän selviäisi mahdollisimman vähällä?

11. Kulttuurinrikastuttajaveljekset Mohammad ja Abdullah sekä heidän kaverinsa Osman ovat pidätettyinä epäiltynä suomalaisen teinitytön joukkoraiskauksesta. Itse asiasta kuultuina he kertovat seuraavaa:
Mohammad: Vain toinen meistä veljeksistä on syyllinen.
Abdullah: Koko väite on pelkkää rasistista vainoa, mitään raiskausta ei ole tapahtunut tai jos on, niin ainoastaan Osman on syyllinen.
Osman: Jos edes toinen veljeksistä on syyllinen, minä olen syytön.
Tee totuustaulukko ja päättele syylliset, kun kaikki luonnollisesti valehtelivat lausunnoissaan.

12. Kauppamatkustaja Huikkanen on huomannut, että hänen onnistumistodennäköisyytensä naisenkaadossa noudattaa funktiota $f(x)\; =\; A\; ln\; x2+\; B$, missä A ja B ovat vakioita ja x on vonkaamisen määrä prosentteina täysillä yrittämisestä, 0 < x < 100. Huikkanen havaitsi, että 50-prosenttinen yrittäminen tuottaa onnistuneen suorituksen 50 prosentin varmuudella ja 90-prosenttinen yritys 70 prosentin varmuudella. Mikä on onnistumistodennäköisyys, jos Huikkanen panee parastaan? Miten onnetonta vonkaamisen on oltava, jotta Huikkanen ei saa missään tapauksessa? 13. Töölön kortteliin, jossa on 1100 asukasta, levisi kuppa. Oletetaan, että kaikki asukkaat olivat terveitä ennen leviämistä, mutta sen jälkeen terveiden yksilöiden lukumäärä alkoi vähetä differentiaaliyhtälön P'(t) = -4 √P(t) mukaisesti. Tässä P(t) on terveiden yksilöiden määrä hetkellä t ja aika t on mitattu viikkoina. Kuinka monen viikon kuluttua kaikilla on kuppa? *14. Elokuvassa Kauriinmetsästäjä pelataan venäläistä rulettia. Revolverin patruunakammioon on laitettu yksi patruuna kuudesta mahdollisesta. Pelaajat pyöräyttävät aina ennen laukausta rummun satunnaiseen asentoon ja painavat liipaisinta vuorotellen.
a) Millä todennäköisyydellä aloittaja saa kuulan kalloonsa?
b) Pelin rajummassa versiossa patruunakammioon on laitettu kolme patruunaa peräkkäin ja se siirretään laukauksen jälkeen aina seuraavaan kohtaan. Ensimmäinen laukaus on tyhjä. Millä todennäköisyydellä seuraava on myös tyhjä?
c) Börje ja Örjan ovat sitä mieltä, että todennäköisyys yksi kuudesta on liian suuri. Siksi he päättävät pelata rulettia Glock-pistoolilla, jonka lippaaseen mahtuu peräti 17 patruunaa ja lataavat sinne vain yhden. Millä todennäköisyydellä aloittaja Börje häviää?

*15. Eräässä pohjoisessa maassa turvapaikanhakijoiden määrän kasvua kuvasi ajanjaksolla [0, 1] (aika kymmeniä vuosia) jatkuva funktio, jonka derivaatalle päti f '(x) > 2 jokaisella x € [0,1] ja määrätty integraali nollasta yhteen sai arvon yksi (yksikkönä miljoonia). Osoita, että
a) f(x) ≥ f(0) + 2x, kun x € [0,1]
b) f(0) ≤ 0
c) funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä [0,1].

Tehtävien ratkaisut löytyvät kommenttiosiosta.