Välihuomautus 32: Jalkapallovariaatioita

Nimimerkki Vieras esitti kommentissaan kysymyksen: Jalkapallon arvokisoissa on lohkovaihe ja jokaisessa alkulohkossa neljä joukkuetta. Jokainen lohkon joukkue pelaa yhden kerran toista lohkon joukkuetta vastan eli kolme ottelua. Joukkueen tulos jokaisesta ottelusta on joko voitto, tasapeli tai tappio. Lohkovaiheen pelejä on yhteensä kuusi kappaletta. Miten monella eri tavalla lohkovaihe voi päättyä yhdessä lohkossa?

Kysymyksen yksi tulkinta osoittautui hyvin mielenkiintoiseksi. Siinä kysymys ymmärrettiin seuraavasti: Miten monta erilaista pistejakaumaa voi esiintyä?

Tähän vastatakseni tein pienen ohjelmoinnin. Ensinnäkin päätin, että asiaa käsitellään sijoitusneutraalisti eli tutkitaan ainoastaan vaihtoehto, jossa joukkueet päätyvät sarjataulukossa järjestykseen ABCD. Tämän järjestyksen sisällä sitten tutkitaan, kuinka monta erilaista variaatiota loppupisteillä voi olla. (Luonnollisesti sijoitusneutraalius unohtaen laskettu vaihtoehto saadaan kertomalla tämän laskun lopputulos luvulla 4! = 24.)

Esimerkiksi, jos joukkueet pelaavat siten että parempi voittaa aina huonompansa, saatu pistejakauma on 9,6,3,0, lyhyesti kirjoitettuna 9630. Eli lohkovoittajalla on kolme voittoa ja siis 9 pistettä, kakkosella kaksi voittoa ja yksi häviö eli kuusi pistettä jne.

Näin ei tietenkään käy kovin usein, vaan esiintyy ristiinpelaamista ja tasapelejä. Kaikki mahdolliset pistevariaatiot eivät kuitenkaan ole mahdollisia, esimerkiksi yksikään joukkue ei voi päätyä kahdeksaan pisteeseen. Samoin lohkokakkonen ei voi saada viittä pistettä, mikäli lohkovoittajalla on yhdeksän pistettä, tai vaikkapa ihan järkevältä kuulostava vaihtoehto 7532 on mahdoton, vaikka "naapurivariaatiot" 7540 ja 7531 ovat mahdollisia.

Tietokone sylkäisi ulos 40 erilaista pistevariaatiota. Sitten tuli tietysti mieleen tutkia, löytyykö jokaisesta ainakin yksi toteutunut esimerkki. MM-kisoissa voitosta on jaettu kolme pistettä vuodesta 1994 alkaen, mutta MM-kisojen läpikäynti ei riittänyt alkuunkaan, eikä olisi voinutkaan, koska alkulohkoja on tällä systeemillä pelattu vain 38 kautta aikojen. Alkoi kyllä lupaavasti, kun vuoden 2010 kaikki kahdeksan alkulohkoa päättyivät eri pistejakaumaan. 21 variaatiota on jo ainakin kerran toteutunut, kun taas 19 variaatiota on vielä MM-tasolla näkemättä. Sitten tutkin vielä eri maanosien mestaruusturnaukset ja nuorten MM-kisat ja johan alkoivat aukot täyttyä. Sitä pienempiin kisoihin en viitsinyt enää mennä. Täyttämättä jäi kaksi koloa. Seuraavassa on lueteltu jokainen variaatio ja yksi esimerkkilohko, jossa se on toteutunut. Koodina on kisat, vuosi ja alkulohkon tunnus. Lisäksi niissä variaatioissa, jotka ovat jo MM-kisoissa esiintyneet, viimeisenä esiintymiskertojen lukumäärä. WC = MM-kisat, EC = EM-kisat, CA = Copa America, ACN = Afrikan mestaruuskisat, AFC = Aasian mestaruuskisat, OG = olympialaiset, WYC = 20-vuotiaiden MM-kisat, WJC = 17-vuotiaiden MM-kisat.

9630: WC2010E3
9611: WC2006H1
9440: WC2002B2
9431: WC2010B1
9421: WC2006D3
9333: ACN2006D
9222: WYC2005A
7730: WC2006C2
7711: WYC2011E
7640: EC1996D
7631: WC2006E2
7621: EC2004B
7540: WC2010G3
7531: WC2006B3
7521: WC2002A2
7441: WC2010A1
7433: WC2002D2
7432: AFC2007B
7431: AFC2000C
7422: AFC2000A
7322: WC1998B1
6660: WC1994D2
6641: WC2010H1
6633: EC2008A
6541: WC1998A2
6522: WJC1999C
6443: WC2010D2
6442: EC2000C
5550: EC2004C
5541: WC2010C2
5532: OG2000C
5531: WC1998E1
5522: ACN2008D
5443: ACN2010A
5442: CA2007A
5432: WC2010F1
5332: -
4444: WC1994E1
4443: ACN2010D
3333: -

Jotkin yhdistelmät ovat tietysti muita yleisempiä, koska ne voivat toteutua usein eri tavoin. MM-kisoissa yleisimmin toteutuneet ovat 9630 (ei kovin yllättävää), 9421, 7540 ja 7531, kukin kolmesti. Vähän "järjenvastaiselta" vaikuttaa 4443. Se syntyy siten, että kolme joukkuetta voittaa keskinäiset pelinsä ristiin ja neljäs pelaa kaikki pelinsä tasan. Samoin 9222 kuulostaa eksoottiselta, mutta hetken miettimisen jälkeen oivaltaa mistä on kyse. Mikäli kaksi joukkuetta neljästä pääsee jatkoon, kyseinen yhdistelmä tarkoittaa sitä, että kahdellakin pisteellä voi selviytyä. Vastaavasti yhdistelmässä 6660 kuusikaan pistettä ei välttämättä riitä. Toteutumattomia yhdistelmiä millään tutkituista tasoista ovat 5332 ja 3333. Jälkimmäinen syntyy vain ja ainoastaan siten, että kaikki lohkon kuusi peliä päättyvät tasan. Pienoinen yllätys oli, ettei aineistoon osunut yhtään tällaista lohkoa. Yhdistelmän 5332 toteutuminen puolestaan vaatii seuraavaa kombinaatiota joukkueiden paremmuusjärjestyksen ollessa ABCD: B ja C pelaavat kaikki ottelunsa tasan ja A voittaa D:n. Mikäli kolme pistettä voitosta olisi ollut käytössä jo 1990 MM-kisoissa, lohko F olisi päättynyt jakaumaan 5332.

Jos joku löytää esimerkkiturnauksen jommallekummalle puuttuvalle variaatiolle, kommentoikoon!